Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

ở
(R, m) ị tr ớ ự
t m, I ủ R M R ữ s A R
rt ể ứ trú ủ tr rt ờ
t tờ q t ế t tố ết tố
ết t ứ ủ ú t t từ ột ết q tr số
Z ế ớ ỗ I = mZ tr ó m = p

1
1
. . . p

k
k
sự
tí t ủ số m tì t Ass
Z
Z/I
n
Z = {p
1
Z, . . . , p
k
Z}
ổ ị ớ ọ n ột tự ờ t t r ỏ r ệ
tí t ò ú t Z ở ột tr tỳ ý
ó ề t ọ ứ ề ề ể ì
ết q ủ r tr ó ứ r
t Ass
R
(M/I
n
M) Ass
R
(I
n
M/I
n+1
M) ụ tộ n
n 0. ế t r ứ ết q ố
rt ó t Att
R
(0 :
A
I
n
) Att
R
(0 :
A
I
n+1
/0 :
A
I
n
)
ộ ớ n n 0 ú ý r t ó
M/I
n
M

=
Tor
R
0
(R/I
n
, M) (0 :
A
I
n
)

=
Ext
0
R
(R/I
n
, A).
ì tế ột tự ỏ r ệ ết q tr ó tể ở rộ
Ext
i
R
(R/I
n
, A) Tor
R
i
(R/I
n
, M) ớ i t ỳ
tr ờ ị ỏ tr ợ r ở rss
P ọ ứ ợ t
Ass
R

Tor
R
i
(R/I
n
, M)

Att
R

Ext
i
R
(R/I
n
, A)

, n = 1, 2, . . .
ổ ị n ủ ớ ồ tờ ọ ũ t r ỏ tì t
Att
R

Tor
R
i
(R/I
n
, A)

Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

, n = 1, 2, . . .
ụ tộ n n ủ ớ tr ờ
ỏ tr ì ủ ị t í ò tồ t t
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn


n
Att
R

Tor
R
i
(R/I
n
, A)



n
Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

í ụ ủ
t ệ q ì ỏ tế t ợ t r tì
ề ệ ể t

n0
Att
R

Tor
R
i
(R/I
n
, A)



n0
Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

ữ
ột tr ờ ỏ tr ợ r ở r
ở ó ệ r ệ M í q
ớ ề > s ộ s ớ ề > s ủ M tr I depth
>s
(I, M) ọ
ứ r ế dim Supp H
i
I
(M) s ớ ọ i r tì t
{p

n0
Ass
R

Ext
t
R
(R/I
n
, M)

| dim(R/p) s}
ữ ớ ọ t r, tr ó r = depth
>s
(I, M).
ế t ó ò ủ ỏ tr ợ tr ờ
ở q ệ ố í q
ớ ề > s ế ý ệ
(Att
R
A)
s
= {p Att
R
A | dim(R/p) s}
tì ọ ứ r t


nN
Att
R
(Tor
R
t
(R/I
n
, A))

s
,


n
1
, ,n
k
N
Att
R
(Tor
R
t
(R/(x
n
1
1
, . . . , x
n
k
k
)R, A

s
ữ ớ ọ t r ớ n ủ ớ ớ ọ ộ số tự n
1
, . . . , n
k

tr ó r = Width
>s
(I, A) ộ rộ ớ ề > s ủ A tr I
(x
1
, . . . , x
k
) ệ s ủ I
ụ í ủ ứ ột tết ết q
ề tí ữ ủ t tố ết ủ r tr
ts rst r tt rs rt rs
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ồ 3 1 ế tứ ị tr ó
trì ý tết ố ts ể ễ tứ ề tr ủ
rt ù ớ ột số tí t ủ tử ở rộ tử
í q ộ s ủ tờ ợ sử ụ tr
tế t 2 trì tết ề ị ĩ tí t ủ M ố
í q ớ ề > s tr ộ tố ủ ố í q ớ
ề > s ủ ột rt t q ề r ủ
ủ ó ệ ộ rộ ớ ề > s ết q ề tí t ữ ủ
t tố ết ủ r ợ trì tr 3
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn


ế tứ ị
r t ộ t ý ệ R tr A
R rrt M R tr ể
ột số ế tứ ợ ù tr tế t trú ủ
rt ố ts ể ễ tứ ề tr ở rộ
í q ộ s. . .
rt ố ts
m ột ự ủ R r m

m
(A) ủ A ợ ị ĩ ở

m
(A) =

n0
(0 :
A
m
n
).
ột số tí t ủ rt ợ r ở r
tờ ợ ù tr ứ ề s
ệ ề ệ ề ổ ề
sử A ột R rt ó ỉ ó ữ
ự m ủ R s
m
(A) = 0 ế ự ệt ó
m
1
, . . . , m
r
tì
A =
m
1
(A) . . .
m
r
(A) Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ớ ỗ j {1, . . . , r} ế s R \ m
j
tì é ở s t
ột tự ủ
m
j
(A) ó
m
j
(A) ó trú tự ủ ột
R
m
j
ớ trú ột t ủ
m
j
(A) ột R
ế ỉ ế ó R
m
j
ệt
A
m
j

=

m
j
(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.
(R, m) ị r ủ t t m
ủ R, ý ệ ở

R, t ớ t ủ t
q ệ t ị ở sở ủ tử
m
t
, t = 0, 1, 2, . . .

R ợ tr ị é t é ộ é
ù ớ é t

R t ột
ỗ tử r R ó tể ồ t ớ ớ t ủ
tt tử tr ề r
ệ ề ổ ề ệ q A R rt
tr ị (R, m) ó A ó trú tự ủ

R tr ó

R ủ t t m ủ R ọ t
ủ A R ủ A ế ỉ ế ó

R ủ A
ó A ó trú tự ủ

R rt
ó trú ệt ờ t ó tể ể ệ
ứ rt tr ột t ì ề ệ ứ tr
ị ữ ệ trú ủ rt tr ột số
trờ ợ ó tể ể ề ứ tr tr ờ ý tết
ố ts ớ ột số tí t ố ts ợ sử
ụ tr
(R, m) ị ủ t E = E(R/m) ộ
ủ trờ t R/m í ệ D() = Hom
R
(, E) từ trù C
R
R Rồ í ó ớ ỗ R M t
à
M
: M DD(M) = Hom
R
(Hom
R
(M, E), E)
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Rồ tự ở à
M
(x)(f) = f(x), ớ ọ x M,
f Hom(M, E). ó t ó ết q s ị ý
ệ ề R E rt ớ ỗ f Hom
R
(E, E) tồ t
t a
f
R : f(x) = a
f
x, x E.
ế N R tr tì D(N) rt
ế A R rt tì D(A) tr
Ann M = Ann D(M) ế M R s
R
(M) <
tì
R
(D(M)) =
R
(M).
ổ ề N R tr A R rt j N
ó
D(N/I
j
N)

=
(0 :
D(N)
I
j
)
D(I
j1
N/I
j
N)

=
(0 :
D(N)
I
j
)/(0 :
D(N)
I
j1
);
D(0 :
A
I
j
)

=
D(A)/I
j
D(A)
D((0 :
A
I
j
)/(0 :
A
I
j1
))

=
I
j1
D(A)/I
j
D(A).
ể ễ tứ
ý tết ể ễ tứ ợ r ở ợ
ố ớ ý tết tí s q ết
tr
ị ĩ ột R M ợ ọ tứ ế M = 0
ế ớ ọ x R é ở x tr M t ỹ r
trờ ợ Rad(Ann
R
M) tố p t ọ
M ptứ
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

M R ột ể ễ tứ ủ M ột tí
M = N
1
+ . . . + N
n
t tổ ữ p
i
tứ N
i
. ế
M = 0 M ó ột ể ễ tứ tì t ó ể ễ ợ ể
ễ tứ ợ ọ tố tể ế tố p
i
ột
ó tử N
i
từ ớ ọ i = 1, . . . , n
ễ t r ọ ể ễ tứ ủ M ề ó tể ợ ề
tố tể ó t ợ {p
1
, . . . , p
n
} ộ ớ ệ ọ ể ễ tứ
tố tể ủ M ợ ọ t tố ết ủ M í
ệ ở Att
R
M tử N
i
, i = 1, . . . , n ợ ọ t
tứ ủ M
ị ý Att
R
A ỉ ụ tộ A ụ tộ
ể ễ tứ tố tể ủ A ữ t ó ị s t
ớ p tố
p Att
R
A.
A ó t ptứ
A ó t Q s Rad(Q) = p.
A ó t Q s p tử tố tể tr t
tố ứ Ann
R
Q.
A ó t Q s Ann
R
Q = p.
ệ ề M ột R ể ễ ợ ó M = 0
ỉ Att
R
M = r trờ ợ t tố tố
tể ủ R ứ Ann(M) í t tử tố tể ủ Att
R
M.
0 M

M M

0 ớ R ể
ễ ợ ó t ó
Att
R
M

Att
R
M Att
R
M

Att
R
M

.
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

A ột R rt ó A ể ễ ợ t Att
R
A
ữ ị ý ữ t ệ ề A ó
trú tự ủ

R ớ trú ỗ t ủ A R
ế ỉ ế ó

R ề t
ủ A ét R

R ừ ó t ó ết
q s ệ q ệ q
ệ ề ệ ề s ú
Att
R
A = {

p R :

p Att

R
A}.
ế R ị ủ tì t ó
ế N R tr tì Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
ế A R rt tì Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
ề tr ủ rt
r ột tố p
0
p
1
. . . p
n
tr
ó p
i
= p
i+1
ợ ọ tố ó ộ ó ề r ủ
R ý ệ dim R tr ủ ộ ủ tố
tr R ề r ủ M ý ệ dim M tr ủ số
n s ó ột tố ó ộ n tr Supp M ì M
ữ s t ó Supp M = V (Ann
R
M) ó
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
pAss M
dim(R/p).
ệ ố ớ ề r ột rt ợ r ở
rts s ó r ổ t t ề tr ể
tr ớ ề r ợ ị ĩ tr
tt ữ ề ề tr ợ ù tr t
ị ĩ ề tr ủ rt A ý ệ ở N-dim
R
A,
ợ ị ĩ q s
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

A = 0, t N-dim
R
A = 1.
ớ A = 0, ột số d 0, t t N-dim
R
A = d ế
N-dim
R
A < d s ớ ỗ t A
0
A
1
. . .
ủ A, tồ t số n
0
s N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d, ớ ọ
n > n
0
.
ừ ị ĩ tr t t r ọ R M tr
ỉ N-dim
R
M = 0. ết r ố ớ ỗ ữ
s M tì dim M = 0 ế ỉ ế M = 0
R
(M) < . ừ ị
ĩ t ó ột số tí t s ề ề tr
ổ ề N-dim
R
A = 0 ế ỉ ế A = 0
R
(A) < r
trờ ợ Att
R
A = {m}. ữ ế
0 A

A A

0
ớ R rt tì
N-dim
R
A = max{N-dim
R
A

, N-dim
R
A

}.
N-dim
R
A dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p Att
R
A} tồ
t rt A s N-dim
R
A < dim R/ Ann
R
A.
N-dim

R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p Att

R
A}.
(R, m) ị A R rt ó A ó
trú tự ủ

R rt t ó
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
í ì t ó tể ết N-dim A t N-dim
R
A N-dim

R
A.
ó ề t ứ trú ủ rt A t q
ề tr ủ ú ột số tí t ủ ề tr
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

rt ợ ố ớ ột số tí t ủ ề r
ữ s ợ r ệt ết q s
ợ rts ị ý ứ trờ ợ tự ị
s ó ợ ễ ự ờ ị ý
ứ trờ ợ t ỳ
ệ ề
R
(0 :
A
J
n
A
) ột tứ ớ ệ số ữ tỷ n 0
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : x
1
, . . . , x
t
J
A
s (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < },
tr ó J
A
=

mSupp A
m.
tử ở rộ tử
ụ ể ệ tí t ủ Ext
Tor tờ ợ ù tr
ị ĩ M, N R n 0 ột số tự
t tứ n ủ tử Hom(, N) ứ ớ M ợ ọ
ở rộ tứ n ủ M N ợ í ệ Ext
n
R
(M, N) ụ tể
ể ự Ext
n
R
t ột ủ M
. . . P
2
u
2
P
1
u
1
P
0

M 0.
ộ tử Hom(, N) ớ tr t ó ố ứ
0 Hom(P
0
, N)
u

1
Hom(P
1
, N)
u

2
Hom(P
2
, N) . . .
ó Ext
n
R
(M, N) = Ker u

n+1
/ Im u

n
ố ồ ề tứ n ủ
ố ứ tr ụ tộ ệ ọ ủ
M
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Xem chi tiết: Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor