Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
trên các không gian phức tùy ý. Ngoài ra, các tính chất này còn được sử dụng
để tổng quát hóa một số định lý cổ điển của Schottky, Hayman, bổ đề của
Bohr và định lý 5 – điểm của Lappan cho trường hợp họ chuẩn tắc đều các
ánh xạ chỉnh hình trên các không gian phức tùy ý.
Trong quá trình làm luận văn, chúng tôi đã nhận được sự hướng dẫn tận
tình của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy. Đồng thời tác giả cũng xin phép gửi tới các thầy cô giáo trong khoa Sau
đại học và khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời
cảm ơn chân thành vì đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành tốt luận văn của mình.
Tác giả cũng xin chân thành cảm cảm ơn các thầy cô phản biện đã dành
thời gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho luận văn.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2010
Tác giả
Nguyễn Quỳnh Hoa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
CHƢƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
Giả sử X là không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý thuộc X;
,H D X
là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô
compact mở. Xét dãy các điểm
01
, , ,
k
p x p p y
thuộc X, dãy các điểm
1
, ,
k
aa
thuộc D và dãy các ánh xạ
1
, ,
k
ff
thuộc
,H D X
thỏa mãn:
1
0 ; 1, , .
i i i i i
f p f a p i k
Tập hợp
0 1 1
, , , , , , , ,
k k k
p p a a f f
thỏa mãn điều kiện trên được
gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
,
1
, 0; ; ,
k
X D i x y
i
k x y inf a
trong đó
,xy
là
tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Khi đó,
:
X
k X X
thỏa mãn các tiên đề:
(1)
, 0, , ,
X
k x y x y X
(2)
, , , , ,
XX
k x y k y x x y X
(3)
, , , , , , ,
X X X
k x y k y z k x z x y z X
được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
Tổng
1
0;
k
Di
i
a
được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình
.
1.1.2 Không gian phức hyperbolic
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi
X
k
là khoảng cách trên X, tức là
, 0 , , .
X
k x y x y x y X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
1.1.3 Định nghĩa
Giả sử
1n
E
là một không gian véctơ phức n + 1 chiều. Gọi
PE
là tập hợp tất cả các không gian con tuyến tính một chiều (hoặc là đường
thẳng đi qua gốc 0) trong E. Ta định nghĩa ánh xạ
: \ 0E P E
như
sau: Với
\0xE
thì
x
là đường thẳng đi qua 0 và x.
Ta có
n
P E P
là không gian xạ ảnh phức n chiều.
Ta gọi
PE
là không gian xạ ảnh đối ngẫu của
,PE
và do đó
n
P
là không gian xạ ảnh đối ngẫu của
.
n
P
Lấy
1
, ,
q
HH
là các siêu phẳng trong
,PE
gọi
1
, ,
q
yy
là các điểm
của
PE
tương ứng với các siêu phẳng
1
, , .
q
HH
Giả sử
: \ 0E P E
là phân thớ Hopf và
\0
j
LE
sao cho
.
jj
Ly
Khi đó, ta gọi
j
L
là dạng tuyến tính tương ứng với siêu phẳng
1, , .
j
H j q
Ta nói rằng họ các điểm
1
, ,
q
yy
của
PE
là ở vị trí tổng quát nếu
với mỗi cách chọn
1 , 0 ,
ok
j j q k n
ta có
0
dim , , 1,
k
jj
L L k
trong đó
0
, ,
k
jj
LL
là không gian con tuyến tính của
E
sinh bởi
0
, , .
k
jj
LL
Định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn
1
, ,
q
LL
với
.
jj
Ly
Cho
1
, ,
q
HH
là các siêu phẳng trong
n
P
. Ta nói rằng
1
, ,
q
HH
là ở vị trí tổng quát nếu họ các điểm
1
, ,
q
yy
của
PE
tương ứng với
1
, ,
q
HH
là ở vị trí tổng quát.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Hay nói cách khác, cho
1
, ,
q
HH
là các siêu phẳng trong
n
P
và
1
, ,
q
LL
là các dạng tuyến tính tương ứng. Khi đó,
1
, ,
q
HH
là ở vị trí tổng
quát nếu
0
, ,
n
jj
LL
là hệ độc lập tuyến tính, với mọi cách chọn
1 .
on
j j q
1.2 Họ các ánh xạ chuẩn tắc
1.2.1 Metric vi phân Kobayashi
Giả sử
M
là đa tạp hyperbolic. Khi đó, ta định nghĩa
M
K
là metric vi
phân Kobayashi trên
M
được xác định bởi:
, 0: 0 , 0, ; , ,
M
K p v inf r p d re v H D M
víi
trong đó
,
p
p M v T M
,
d
là ánh xạ tiếp xúc của
và
e
là vectơ đơn
vị 1 tại
0.D
1.2.2 Định nghĩa
Giả sử
M
là đa tạp hyperbolic,
Y
là không gian phức,
E
là hàm độ dài
trên
Y
và
E
d
là hàm khoảng cách trên
Y
sinh bởi hàm độ dài
E
. Khi đó, ta
định nghĩa chuẩn
E
df
của ánh xạ tiếp xúc của
,f H M Y
ứng với hàm độ
dài
E
, xác định bởi:
:,
E
E
df sup df p p M
trong đó
, , : , 1 .
M
E
df p sup E f p df p v K p v
1.2.3 Định nghĩa
Giả sử X, Y là các không gian phức và
,F C X Y
. Khi đó, ta định
nghĩa F là liên tục đồng đều từ
pX
đến
qY
nếu với mỗi lân cận mở U
chứa điểm q trong Y thì tồn tại các tập mở V, W trong X, Y chứa p, q tương
ứng sao cho
: : .f F f p W f F f V U
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Nếu F là liên tục đồng đều với mỗi
pX
đến mỗi
qY
thì ta nói
rằng F liên tục đồng đều từ X vào Y.
Khi đó, kết quả sau được coi như là cách phát biểu khác của định lý
Arzela – Ascoli đối với họ liên tục đồng đều.
1.2.4 Mệnh đề
Giả sử X là một không gian chính quy compact địa phương và Y là một
không gian chính quy. Khi đó, họ
,F C X Y
là compact tương đối trong
,C X Y
khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
a) F là liên tục đồng đều,
b)
F x f x f F
là compact tương đối trong Y với mỗi
.xX
Cho X, Y là các không gian phức. Ta ký hiệu:
+)
YY
là compact hóa một điểm Alexandroff của không gian
tôpô Y và
YY
nếu Y là compact.
+) Nếu
,F C Y Z
và
,G C X Y
thì ta viết
: , .F G f g f F g G
1.2.5 Định nghĩa
Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian
phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F là compact tương đối trong
,H X Y
đối
với tôpô compact – mở.
1.2.6 Định nghĩa
Giả sử X và Y là các không gian phức. Một họ
,F H X Y
được gọi
là chuẩn tắc đều nếu
,F H M X
là compact tương đối trong
,C M Y
với mỗi đa tạp phức M. Ta nói rằng
,f H X Y
là một ánh xạ chuẩn tắc
nếu
f
là chuẩn tắc đều.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Từ định nghĩa trên ta thấy mỗi phần tử của một họ chuẩn tắc đều là một
ánh xạ chuẩn tắc. Nhưng ngược lại, một họ các ánh xạ chuẩn tắc có thể không
là chuẩn tắc đều. Thật vậy, ta có ví dụ:
Ví dụ
Định nghĩa họ
1
,F H D P
được xác định bởi
: 1,2,
n
F f n
với
1
.
1
n
fz
n nz
Khi đó,
n
f
là chuẩn tắc với mỗi
1,2, n
nhưng F
không là chuẩn tắc đều.
Thật vậy, vì
1
1
n
fz
nn
trên D nên
n
f
là một ánh xạ chuẩn tắc
theo Lehto-Virtanen. Định nghĩa ánh xạ
n
AD
được xác định bởi
32
23
1
.
1
n
n z n
z
n z n
Khi đó, ta có
13
0,
nn
f n n
nhưng
0
nn
f
không dần đến 0. Vậy họ F không là chuẩn tắc đều.
Từ định nghĩa 1.2.6 ta có các mệnh đề sau:
1.2.7 Mệnh đề
Nếu M là đa tạp phức, Y là không gian phức và
,F H M Y
là
chuẩn tắc đều thì F là compact tương đối trong
,.C M Y
1.2.8 Mệnh đề
Nếu X, Y là các không gian phức và
,F H X Y
thì các mệnh đề sau
tương đương:
(1) F là chuẩn tắc đều.
(2) Nếu Z là không gian phức và
,G H Z X
thì
FG
là chuẩn tắc đều.
(3) Nếu Z là không gian con phức của X thì họ các ánh xạ thuộc F hạn chế
trên Z là chuẩn tắc đều.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
1.2.9 Mệnh đề
Nếu X, Y là các không gian phức và
,F H X Y
thì các mệnh đề sau
tương đương:
(1) F là chuẩn tắc đều.
(2)
,F H D X
là chuẩn tắc đều.
(3)
,F H D X
là compact tương đối trong
,.C D Y
(4) Bao đóng của F trong
,H X Y
là chuẩn tắc đều.
Chứng minh
Từ mệnh đề 1.2.7 và 1.2.8 ta có
1 2 3 ; 4 1 .
Chứng minh
3 1 .
Giả sử
1
sai. Ta có thể giả sử
:1
m
M p p
.
Từ mệnh đề 1.2.4, ta có
,F H M X
không là họ liên tục đồng đều từ điểm
0 M
đến điểm
.qY
Tồn tại các dãy
0 , , ,
n n n
p M f F H M X
sao cho
0, 0
n n n
p f q
và
n n n
fp
không hội tụ về q.
Lấy
,
n
H D X
xác định bởi
.
, 0 .
n
n n n n
n
zp
z f q
p
Trong khi đó,
n n n
fp
không hội tụ về q.
Từ mệnh đề 1.2.4 ta có
,F H D X
không là compact tương đối trong
,.C D Y
Suy ra mâu thuẫn với
3
. Vậy
3 1 .
Chứng minh
1 4 .
Ta cần chứng minh rằng với mỗi đa tạp phức M thì
, , , .F H X Y H M X F H M X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Thật vậy, lấy
, , ,g F H X Y H M X
. Khi đó, có dãy
n
fF
thỏa mãn
.
n
fg
Do đó
.
n
fg
Vậy mệnh đề được chứng minh.
1.2.10 Định nghĩa
Giả sử
X
là một không gian con phức của một không gian phức
Y
.
Khi đó,
X
được gọi là nhúng hyperbolic trong
Y
nếu với mọi
,;p q X p q
thì luôn tồn tại các lân cận mở V, W trong
Y
lần lượt chứa p
và q sao cho
, 0,
X
k V X W X
trong đó
X
k
là giả khoảng cách
Kobayashi trên
.X
Từ mệnh đề 1.2.9, ta có thể chỉ ra một số lớp quan trọng của các không
gian phức được xác định bởi các họ chuẩn tắc đều. Cụ thể, năm 1973,
Kierman [21] đã chứng minh được kết quả sau:
1.2.11 Mệnh đề
Một không gian con phức compact tương đối của một không gian phức
Y
là nhúng hyperbolic trong
Y
khi và chỉ khi
,H D X
là compact tương
đối trong
,H D Y
; hay nói cách khác, khi và chỉ khi
,H D X
là tập con
chuẩn tắc đều của
,.H D Y
Năm 1971, Royden [29] và Abate [3] năm 1993 đã chỉ ra
1.2.12 Mệnh đề
Một đa tạp phức M là hyperbolic khi và chỉ khi
,H D M
là liên tục
đều. Hơn nữa, ta có M là hyperbolic khi và chỉ khi
,H D M
là compact
tương đối trong
,.C D M
Do đó,
,H D M
là họ chuẩn tắc đều khi và chỉ
khi M là hyperbolic.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Năm 1994, Joseph và Kwack [18] đã chứng minh được
1.2.13 Mệnh đề
Một không gian con phức
X
của một không gian phức
Y
là nhúng
hyperbolic trong
Y
khi và chỉ khi
,H D X
là compact tương đối trong
,;C D Y
hay khi và chỉ khi
,H D X
là tập con chuẩn tắc đều của
,.H D Y
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng họ các ánh xạ giảm khoảng cách giữa những
không gian metric X, Y là compact tương đối trong tập các ánh xạ chỉnh hình
từ không gian X vào không gian compact hóa một điểm Alexandroff của
không gian Y.
1.2.14 Mệnh đề
Giả sử
,Y
là một không gian metric compact địa phương, X là một
không gian tôpô và cho
là giả metric trên X,
liên tục trên
.XX
Khi
đó, nếu với mỗi
,f F C X Y
là giảm khoảng cách tương ứng với
,
thì F là compact tương đối trong
,.C X Y
Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng họ F là liên tục đồng đều từ X vào
.Y
Thật vậy, ta giả sử ngược lại họ F không liên tục đồng đều từ X vào
.Y
Khi đó, tồn tại các điểm
;,p X q s Y
và các dãy
;p X f F
sao
cho
, , , .p p s q f p s f p q
+) Nếu
qY
thì với mỗi
ta có:
, , , , , .f p q f p f p f p q p p f p q
Do đó,
,0f p q
và
.qs
Suy ra mâu thuẫn.
+) Nếu
sY
thì với mỗi
ta có:
, , , .f p s p p f p s
Do đó,
,0f p s
và
.qs
Suy ra mâu thuẫn.
Vậy F là liên tục đồngđều từ X vào
.Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
CHƯƠNG II
HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU TRÊN CÁC ĐA TẠP HYPERBOLIC
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các tính chất của họ chuẩn
tắc đều trên các đa tạp hyperbolic. Từ đó, chúng tôi áp dụng những tính chất
này để tổng quát hóa một số định lý của Brody, của Hahn, và của Zaidenberg;
đồng thời những tính chất này cũng được sử dụng để đưa ra một định lý tương
tự định lý của Aladro và Krantz. Hơn nữa, với những tính chất này ta còn có
được những kết quả quan trọng trong chương 3.
2.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
Brody đã chứng minh được định lý sau (xem [25], trang 68)
2.1.1 Định lý
Cho X là một không gian con phức compact tương đối của không gian
phức Y. Khi đó, nếu X không là nhúng hyperbolic trong Y thì tồn tại các dãy
,
nn
rg
sao cho
0, ,
n
n n r
r g H D X
và một ánh xạ khác hằng
,g H Y
thỏa mãn
n
r
và
n
gg
trên các tập con compact của
.
Nhận xét. Trong định lý trên ta có thể giả sử rằng
.
n
rn
Thật vậy, trước hết ta giả sử
1
1r
và
1
1
nn
rr
. Nếu k là một số
nguyên dương và
1
kr
thì đặt
1
;
k
fg
nếu
1nn
r k r
thì đặt
1
.
kn
fg
Khi
đó, ta có
,
kk
f H D X
và
k
fg
trên các tập con compact của
.
2.1.2 Định nghĩa
Cho X, Y là các không gian phức và
,.F H X Y
Khi đó:
(1) Một dãy Brody đối với F là một dãy
nn
fg
, trong đó
n
fF
và
,.
nn
g H D X
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét