tích phân - nguyên hàm

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 5
· Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x
0
= 0.

20
x0x0
F(x)F(0)xx1e
F'(0)limlim1.
x0x

-
®®
-++-
===
-

· Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x
0
= 0.

x0
x0x0
F(x)F(0)ee
F'(0)limlim1.
x0x
++
+
®®

===
-

Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1.
-+
==Þ=
Tóm lại:
x
ekhix0
F'(x)f(x)
2x1khix0
ì
³
==
í
+<
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ
Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số.
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b
–
)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:

F'(x)f(x),x(a;b)
F'(a)f(a)
F'(b)f(b)
+
-
="Ỵ
ì
ï
=
í
ï
=
ỵ
Þ giá trò của tham số.

Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
· Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C
· Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.
Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 6
Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số:
2
xkhix1
F(x)
axbkhix1
ì
£
=
í
+>
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số:
2xkhix1
f(x)
2khix1
£
ì
=
í
>
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x1¹ , ta có:
2xkhix1
F'(x)
2khix1
<
ì
=
í
>
ỵ

b/ Với x = 1, ta có:
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do
đó :
x1x1
limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1)
-+
®®
==Û+=Û=-
· Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1.

2
x1
x1
f(x)F(1)x1
F'(1)=limlim2.
x1x1
-
®
®

==


· Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
= 0.

x1x1x1
F(x)F(1)axb1ax1a1
F'(1)limlimlima.
x1x1x1
+++
+
®®®
-+-+
====


Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2.
-+
Û=Û= (2)
Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số:
-
=++
22x
F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của
22x
F(x)(2x8x7)e
-
= + trên R.
Giải:
Ta có:
2x22x
F'(x)(2axb)e2(axbxc)e

=+-++
22x
2ax2(ab)xb2ce
-
éù
=-+-+-
ëû

Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R
F'(x)f(x),xRÛ="Ỵ
Û-+-+-=-+-"Ỵ
22
2ax2(ab)xb2c2x8x7,xR

a1a1
ab4b3
b2c7c2
==
ìì
ïï
Û-=Û=-
íí
ïï
-=-=
ỵỵ

Vậy
-
=-+
22x
F(x)(x3x2)e .
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 7
BÀI TẬP
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
x
F(x)lntg
24
p
ỉư
=+
ç÷
èø

Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
cosx
= .
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số
2
ln(x1)
,x0
F(x)
x
0,x0
ì
+
¹
ï
=
í
ï
=
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số
2
22
2ln(x1)
,x0
f(x)
x1x
1,x0
ì
+
-¹
ï
=
+
í
ï
=
ỵ

Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số
2x
F(x)(axbxc).e
-
=++ là một nguyên hàm của
hàm số
2x
f(x)(2x5x2)e
-
=-+ trên R.
ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/ Tính nguyên hàm
32
2
x3x3x7
F(x)củaf(x)vàF(0)8.
(x1)
++-
==
+

b/ Tìm nguyên hàm F(x) của
2
x
f(x)sinvàF.
224
pp
ỉư
==
ç÷
èø

ĐS: a/
2
x8
F(x)x;
2x1
=++
+
b/
1
F(x)(xsinx1)
2
=-+
Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số:

2
F(x)(axbxc)2x3=++- là một nguyên hàm của hàm số:

2
20x30x73
f(x)trênkhoảng;
2
2x3
-+
ỉư
=+¥
ç÷
èø
-

b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.
ĐS: a/ a4;b2;c1;==-= b/
2
G(x)(4x2x10)2x322.=-+








Tích phân Trần Só Tùng
Trang 8
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Ví dụ 1: CMR , nếu
f(x)dxF(x)C=+
ò
thì
1
f(axb)dxF(axb)Cvớia0.
a
+=++¹
ò

Giải:
Ta luôn có:
1
f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0.
a
+=++¹
Áp dụng tính chất 4, ta được:
11
f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm)
aa
+=++++
òò
.
Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:

f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x)=+Þ=+=
òò

Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
3
(2x3)dx+
ò
b/
4
cosx.sinxdx
ò
c/
x
x
2e
dx
e1+
ò
d/
2
(2lnx1)
dx
x
+
ò

Giải:
a/ Ta có:
44
33
11(2x3)(2x3)
(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.
2248
++
+=++=+=+
òò

b/ Ta có:
5
44
cosx
cosx.sinxdxcosxd(cosx)C
5
=-=-+
òò

c/ Ta có:
xx
x
xx
2ed(e1)
dx22ln(e1)C
e1e1
+
==++
++
òò

d/ Ta có:
2
23
(2lnx1)11
dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C.
x22
+
=++=++
òò

Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
2
x
2sindx
2
ò
b/
2
cotgxdx
ò
c/
tgxdx
ò
d/
3
tgx
dx
cosx
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
x
2sindx(1cosx)dxxsinxC
2
=-=-+
òò

b/ Ta có:
2
2
1
cotgxdx1dxcotgxxC
sinx
ỉư
=-= +
ç÷
èø
òò

c/ Ta có:
sinxd(cosx)
tgxdxdxlncosxC
cosxcosx
==-=-+
òòò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 9
d/ Ta có:
3
3443
tgxsinxd(cosx)11
dxdxcosxCC.
cosxcosxcosx33cosx
-
==-=-+=-+
òòò

Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
2
x
dx
1x+
ò
b/
2
1
dx
x3x2-+
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
2
22
x1d(1x)1
dxln(1x)C
1x21x2
+
==++
++
òò

b/ Ta có:
2
1111
dxdxdx
x3x2(x1)(x2)x2x1
ỉư
==-
ç÷
-+ èø
òòò


x2
lnx2lnx1ClnC.
x1
-
= +=+
-


BÀI TẬP
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
x
f(x)cos;
2
= b/
3
f(x)sinx.
ĐS: a/
1
(xsinx)C;
2
++ b/
3
1
cosxcosxC.
3
-++
Bài 7. Tính các tích phân bất đònh :
a/
xx
e(2e)dx;
-
-
ò
b/
x
x
e
dx;
2
ò
c/
2xxx
x
2.3.5
dx
10
ò
.
d/
25x
x
e1
dx;
e
-
+
ò
e/
x
x
e
dx
e2+
ò

ĐS: a/
x
2exC;-+ b/
x
x
e
C;
(1ln2)2
+
-
c/
x
6
C
ln6
+
d/
26xx
1
eeC;
6

+ e/
x
ln(e2)C++.
Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/
44
xx2dx
-
++
ò
; b/
3
5
xxdx
ò
; c/
2
xx1dx+
ò
;
d/
2001
(12x)dx;-
ò
e/
34lnx
dx
x
-
ò

ĐS: a/
3
x1
C;
3x
-+ b/
57
5
xC;
7
+ c/
22
1
(x1)x1C
3
+++ ;
d/
2002
1(12x)
.C;
22002
-
-+ e/
1
(34lnx)34lnxC.
6
+++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 10

Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu
thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó
có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng
mình từ một vài minh hoạ sau:
· Với
3263
f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.=-=-+
· Với
2
x4x52
f(x)thìviếtlạif(x)x3
x1x1
-+
==-+

.
· Với
2
111
f(x)thìviếtlạif(x)
x5x6x3x2
==-
-+

· Với
11
f(x)thìviếtlạif(x)(32x2x1)
2
2x132x
== +
++-

· Với
xx2xxx
f(x)(23)thìviếtlạif(x)42.69.=-=-+
· Với
3
f(x)8cosx.sinxthìviếtlạif(x)2(cos3x3cosx).sinx==+
2cos3x.sinx6cosx.sinxsin4xsin2x3sin2xsin4x2sin2x.=+=-+=+
·
22
tgx(1tgx)1=+-
·
22
cotgx(1cotgx)1=+-
·
n2
n
22
x(1x)11
x
1x1x
++
=+
++
.
Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình.

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2002
Ix(1x)dx.=-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được:
2002200220022003
x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x) = =
Khi đó:

2002200320022003
20032004
I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)
(1x)(1x)
C.
20032004
= = +

=-++
òòòò


Tổng quát: Tính tích phân bất đònh:
Ix(axb)dx,vớia0
a
=+¹
ò

Sử dụng đồng nhất thức:
11
x.ax[(axb)b]
aa
==+-
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 11
Ta được:

1
11
x(axb)[(axb)b)(axb)[(axb)d(axb)(axb)d(ax d)]
aa
aaa+a
+=+-+=++-++
òò

Ta xét ba trường hợp :
· Với a = 2, ta được:
12
2
1
I[(axb)d(axb)(axb)d(axb)]
a

=++-++
òò


2
11
[lnaxb]C.
aaxb
=+++
+

· Với a = –1, ta được:

1
22
11
I[d(axb)(axb)d(axb)][axblnaxb]C.
aa
-
=+-++=+-++
òò

· Với R\{2;1}, ta được:
21
2
1(axb)(axb)
I[]C.
a21
a+a+
++
=++
a+a+


Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I
x4x3
=
-+
ò

Giải:
Ta có:
2
111(x1)(x3)111

x4x3(x3)(x1)2(x3)(x1)2x3x1

ỉư
===-
ç÷
-+
èø

Khi đó:

ỉư
=-=-= +
ç÷
èø
òòòò
1dxdx1d(x3)d(x1)1
I.['.(lnx3lnx1)C
2x3x12x3x12


-
=+
-
1x3
lnC.
2x1


Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
x2x3
=
++-
ò

Giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

11
22
33
11
I(x2x3)dx[(x2)d(x2)(x3)d(x3)]
55
2
[(x2)(x3)]C.
15
=++-=+++
=++-+
òòò

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
sinx.cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
22
sinxcosx1,+=
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 12
Ta được:
22
2222
2
1
1sinxcosxsinx1sinx1
2

xx
sinx.cosxsinx.sinxcosxsinxcosx
costg
22
+
==+=+
Suy ra:
22
2
x
1
dtg
sinxd(cosx)1x
2
2
IdxdxlntgC.
xxx
cosxcosxcosx2
costgtg
222
ỉư
ç÷
èø
=+=-+=++
òòòò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
4
dx
I.
cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng kết quả:
2
dx
d(tgx)
cosx
=
ta được:
223
22
1dx1
I.(1tgx)d(tgx)d(tgx)tgxd(tgx)tgxtgxC.
cosxcosx3
==+=+=++
òòòò


BÀI TẬP
Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
23
f(x)(12x);=- b/
3x2
3
2xxe3x
f(x)
x

= ;
c/
2
(2x)
f(x);
x
+
=
d/
1
f(x)
3x43x2
=
+-+

ĐS: a/
357
128
x2xxxC
57
-+-+ ; b/
x
4
elnxC;
3xx
++

c/
3322
6
243
6xxxxxC;
75
+++ d/
33
1
(3x4)(3x2)C.
9
éù
-+++
ëû

Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
1
f(x);
x6x5
=
-+
b/
2
4x6x1
f(x);
2x1
++
=
+

c/
32
4x4x1
f(x);
2x1
+-
=
+
d/
3
2
4x9x1
f(x);
94x
-++
=
-

ĐS: a/
1x5
lnC;
4x1
-
+
-
b/
2
1
x2xln2x1C;
2
+-++
c/
32
2111
xxxln2x1C
3224
+ ++; d/
2
x12x3
lnC.
2122x3
-
-+
+

Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 13
a/
2
(sinxcosx);+ b/ cos2x.cos2x;
34
pp
ỉưỉư
-+
ç÷
ç÷
èø
èø
c/
3
cosx;
d/
4
cosx; e/
44
sinxcosx;+ f/
66
sin2xcos2x.+

ĐS: a/
1
xcos2xC
2
-+ ; b/
171
sin5xsinxC
1012212
pp
ỉưỉư
++-+
ç÷ç÷
èøèø

c/
31
sinxsin3xC;
412
++ d/
311
xsin2xsin4xC;
8431
+++
e/
3sin4x
xC;
416
++ f/
53
xsin8xC.
864
++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 14

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a/ Nếu
f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm thì
f(u)duF(u)C=+
ò
.
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
f(x)dxf[(t)].'(t)dt.=jj
òò

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax-
xasintvớit
22
xxcostvới0t
pp
é
=-££
ê
ê
=££p
ê
ë

22
xa-
a
xvớit;\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
éù
=Ỵ-
ê
êú
ëû
ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax+
xatgtvớit
22
xacotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
ê
=<<p
ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)
x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
(1x)
=
-
ò

Giải:
Đặt xsint;t
22
pp
=-<<

Xem chi tiết: tích phân - nguyên hàm